حل فعالیت و کاردرکلاس صفحه101 و 102 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 101 - فعالیت چندضلعی‌ها بیایید با استفاده از فرمول مجموع زوایای داخلی، این جدول را کامل کنیم. فرمول کلی برای یک $n$ضلعی به صورت $$(n-2) \times 180^\circ$$ است. **گام اول: محاسبات** * **مثلث ($n=3$):** $$(3-2) \times 180^\circ = 180^\circ$$ * **مربع ($n=4$):** $$(4-2) \times 180^\circ = 360^\circ$$ * **لوزی ($n=4$):** چون لوزی هم یک چهارضلعی است: $$(4-2) \times 180^\circ = 360^\circ$$ * **پنج‌ضلعی ($n=5$):** $$(5-2) \times 180^\circ = 540^\circ$$ **گام دوم: نمایش زوج مرتبی** $$f = \{(\text{مثلث}, 180^\circ), (\text{مربع}, 360^\circ), (\text{لوزی}, 360^\circ), (\text{پنج‌ضلعی}, 540^\circ)\}$$ **گام سوم: چرا تابع است؟** این رابطه یک **تابع** است زیرا هر چندضلعی مشخص، دقیقاً یک مقدار برای مجموع زوایای داخلی دارد. توجه کنید که اگرچه مربع و لوزی هر دو مجموع زوایای $360^\circ$ دارند، اما این موضوع خللی در تابع بودن ایجاد نمی‌کند (چون از هر ورودی فقط یک خروجی خارج شده است).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 101 - تمرین 1 سلام به همگی! بیایید این مسئله‌ی هندسی را با نگاهی به دنیای توابع حل کنیم. ما می‌دانیم که محیط یک مربع از ضرب طول ضلع آن در عدد $4$ به دست می‌آید. فرمول کلی آن به صورت $$P = 4a$$ است. **گام اول: تکمیل جدول** * اگر ضلع $\frac{3}{2}$ باشد: $$4 \times \frac{3}{2} = 6$$ * اگر ضلع $2$ باشد: $$4 \times 2 = 8$$ * اگر محیط $20$ باشد، برای پیدا کردن ضلع باید محیط را بر $4$ تقسیم کنیم: $$20 \div 4 = 5$$ **گام دوم: مجموعه‌ی زوج‌های مرتب** رابطه را به صورت $$(x, y)$$ نمایش می‌دهیم که $x$ ضلع و $y$ محیط است: $$f = \{(\frac{1}{2}, 2), (1, 4), (\frac{3}{2}, 6), (2, 8), (5, 20)\}$$ **گام سوم: چرا این رابطه تابع است؟** این رابطه یک **تابع** است زیرا به ازای هر **ضلع مشخص**، فقط و فقط **یک محیط** منحصر به فرد وجود دارد. در مجموعه‌ی زوج‌های مرتب نیز هیچ دو زوج متمایزی وجود ندارند که مولفه‌ی اول یکسان داشته باشند. **گام چهارم: تعیین دامنه و برد** * **دامنه ($D_f$):** مجموعه‌ی تمام مولفه‌های اول (طول ضلع‌ها): $$D_f = \{\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, 5\}$$ * **برد ($R_f$):** مجموعه‌ی تمام مولفه‌های دوم (محیط‌ها): $$R_f = \{2, 4, 6, 8, 20\}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 101 - تمرین 2 در این تمرین می‌خواهیم با ساختار تعداد اعضای دامنه و برد بازی کنیم تا مفهوم تابع را عمیق‌تر درک کنیم. **پاسخ بخش الف:** بله، این کار به راحتی امکان‌پذیر است. در یک تابع، چند ورودی متفاوت می‌توانند به یک خروجی مشترک وصل شوند. مثال: مجموعه‌ی دانش‌آموزان $محمد, علی, رضا$ را در نظر بگیرید که همگی در دو رشته‌ی ورزشی $فوتبال, والیبال$ ثبت‌نام کرده‌اند. $$f = \{(محمد, فوتبال), (علی, فوتبال), (رضا, والیبال)\}$$ در اینجا **دامنه** دارای ۳ عضو است اما **برد** فقط شامل ۲ عضو (فوتبال و والیبال) می‌باشد. **پاسخ بخش ب:** خیر، چنین تابعی **وجود ندارد**. طبق تعریف تابع، هر عضو از دامنه باید دقیقاً به **یک عضو** در برد وصل شود. اگر دامنه ۲ عضو داشته باشد، حداکثر می‌تواند ۲ خروجی متفاوت تولید کند. داشتن ۳ عضو در برد به این معنی است که حداقل یکی از اعضای دامنه باید به دو خروجی متفاوت وصل شده باشد، که این موضوع قانون **تابع** بودن را نقض می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 101 - تمرین 3 پاسخ این سوال خیر است. همیشه برد تابع با مجموعه‌ی مقصد ($B$) برابر نیست. **توضیح مفهومی:** در تعریف تابع، مجموعه‌ی $B$ را **هم‌دامنه** می‌نامند. لزومی ندارد تمام اعضای هم‌دامنه توسط اعضای دامنه اشغال شوند. **برد** مجموعه‌ای است که فقط شامل خروجی‌های واقعی تابع است. **مثال:** فرض کنید مجموعه‌ی ورودی ما $A = \{1, 2\}$ و مجموعه‌ی مقصد $B = \{10, 20, 30\}$ باشد. تابعی را تعریف می‌کنیم که هر عدد را در ۱۰ ضرب کند: $$f = \{(1, 10), (2, 20)\}$$ در این مثال: * دامنه‌ی تابع: $$A = \{1, 2\}$$ * مجموعه‌ی مقصد: $$B = \{10, 20, 30\}$$ * **برد تابع:** $$R_f = \{10, 20\}$$ همان‌طور که می‌بینید، عدد $30$ در مجموعه‌ی $B$ عضو هیچ زوج مرتبی نیست، پس برد با مجموعه‌ی $B$ برابر نشده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 102 - فعالیت دنباله شکل‌ها سلام به دوستان عزیز! در این فعالیت می‌خواهیم رابطه‌ی بین شماره‌ی یک شکل و تعداد اجزای آن را بررسی کنیم. **۱. کشف الگو و تکمیل جدول:** با دقت در شکل‌ها متوجه می‌شویم که در هر مرحله، ۲ دایره به شکل قبلی اضافه می‌شود. این یک **دنباله حسابی** است. - برای شکل $n$ ام، تعداد دایره‌ها از رابطه‌ی $$2n - 1$$ به دست می‌آید. - بنابراین برای شماره‌های ۳، ۴، ۵ و ۶ تعداد دایره‌ها به ترتیب برابر است با: $5$، $7$، $9$ و $11$. - برای شماره ۱۰۰: $$2(100) - 1 = 199$$. - برای شماره $n$: $$2n - 1$$. **۲. چرا این جدول یک تابع است؟** این جدول یک **تابع** را نشان می‌دهد زیرا به هر «شماره شکل» (ورودی)، دقیقاً «یک تعداد دایره» (خروجی) نسبت داده شده است. غیرممکن است یک شماره شکل خاص (مثلاً شکل سوم) همزمان دو تعداد دایره متفاوت داشته باشد. **۳. نمایش زوج مرتبی:** $$f = \{(1, 1), (2, 3), (3, 5), \dots, (100, 199), \dots, (n, 2n-1), \dots\}$$ **۴. دامنه و برد:** - **دامنه ($D_f$):** مجموعه‌ی شماره شکل‌ها است که همان مجموعه‌ی **اعداد طبیعی** ($$\mathbb{N}$$) می‌باشد: $$D_f = \{1, 2, 3, \dots\}$$. - **برد ($R_f$):** مجموعه‌ی تعداد دایره‌ها است که شامل **اعداد فرد مثبت** می‌باشد: $$R_f = \{1, 3, 5, \dots\}$$.